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等比数列公式总结

2025-09-21 10:08:14 来源：网易用户：蒋泽烁

【等比数列公式总结】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。掌握等比数列的相关公式，有助于我们快速解决数列求和、通项计算等问题。以下是对等比数列常用公式的全面总结。

一、基本概念

- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。

- 公比（r）：相邻两项的比值，即 $ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $

- 首项（a₁）：数列的第一个数

- 通项公式：表示数列第n项的表达式

二、等比数列公式汇总

公式名称	公式表达式	说明
通项公式	$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $	表示第n项的值
前n项和公式	$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $）	求前n项的和
当 $ r = 1 $ 时	$ S_n = n \cdot a_1 $	所有项都相等
无穷等比数列和	$ S = \frac{a_1}{1 - r} $（当 $	r	< 1 $）	当公比绝对值小于1时，无限项之和收敛
中间项公式	若三个数成等比数列，则中间项的平方等于两边两数的乘积，即 $ b^2 = ac $	用于判断或构造等比数列

三、典型应用举例

1. 已知首项和公比，求第n项

例如：首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ r = 3 $，求第5项：

$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $

2. 求前n项和

例如：首项 $ a_1 = 4 $，公比 $ r = 2 $，求前4项和：

$ S_4 = 4 \cdot \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = 4 \cdot \frac{-15}{-1} = 60 $

3. 无穷等比数列求和

例如：首项 $ a_1 = 1 $，公比 $ r = \frac{1}{2} $，求和：

$ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 $

四、注意事项

- 当公比 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，此时不能使用前n项和的通用公式；

- 在使用无穷等比数列求和时，必须满足 $ r < 1 $ 的条件；

- 通项公式适用于所有正整数n，包括n=1；

- 中间项公式可用于验证数列是否为等比数列。

通过以上总结，我们可以更清晰地理解等比数列的结构与规律，从而在实际问题中灵活运用这些公式，提高解题效率和准确性。

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