对角矩阵是一种特殊的方阵，其非零元素仅位于主对角线上。假设我们有一个 \( n \times n \) 的对角矩阵 \( D \)，其形式如下：
\[
D = \begin{pmatrix}
d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & d_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & d_{nn}
\end{pmatrix}
\]
其中 \( d_{ii} \) 是对角线上的第 \( i \) 个元素。要找到 \( D \) 的逆矩阵 \( D^{-1} \)，我们需要确保 \( D \) 是可逆的，即所有对角线上的元素 \( d_{ii} \) 都不为零。
如果 \( D \) 可逆，则 \( D^{-1} \) 也是一个对角矩阵，其形式为：
\[
D^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{d_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \frac{1}{d_{22}} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \frac{1}{d_{nn}}
\end{pmatrix}
\]
这意味着对角矩阵的逆矩阵可以通过将原矩阵中每个对角线上的元素取倒数来获得。这种性质使得对角矩阵的逆矩阵计算变得非常简单和高效。
例如，假设我们有一个 \( 3 \times 3 \) 的对角矩阵：
\[
D = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 4
\end{pmatrix}
\]
那么 \( D \) 的逆矩阵 \( D^{-1} \) 就是：
\[
D^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{3} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{4}
\end{pmatrix}
\]
通过这种方式，我们可以轻松地计算出任意可逆对角矩阵的逆矩阵，这在数值计算和理论分析中都非常有用。