一元二次不等式是数学中常见的一种不等式类型，通常形式为 \(ax^2 + bx + c > 0\)（或用<, ≥, ≤代替>），其中 \(a \neq 0\)。解决这类问题的关键在于理解二次函数的图像性质以及如何利用根来划分数轴上的区间。以下是解决一元二次不等式的基本步骤：
1. 确定二次方程的根
首先，将不等式转化为等式 \(ax^2 + bx + c = 0\)，并求解这个二次方程的根。这可以通过因式分解、使用求根公式（\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)）或完成平方等方式实现。
2. 分析根的情况
根据判别式 \(D = b^2 - 4ac\) 的值来判断根的情况：
- 如果 \(D > 0\)，则有两个不同的实根。
- 如果 \(D = 0\)，则有一个重根。
- 如果 \(D < 0\)，则没有实根。
3. 利用根划分数轴
根据二次方程的根，可以将数轴划分为若干个区间。如果方程有实根，则这些根会将数轴分成几个部分；如果没有实根，则整个数轴是一个连续的区间。
4. 测试每个区间的符号
在每个区间内选择一个测试点，代入原不等式中对应的二次多项式，检查该多项式的符号是否满足不等式的要求。注意，当不等式包含“≥”或“≤”时，还需要考虑根是否满足条件。
5. 综合分析结果
最后，根据各区间内测试点的结果和根的情况，确定满足不等式的解集。如果某个根是不等式的解，则该根应该被包括在解集中；如果根只是使等式成立，则根据不等号的方向决定是否包括该根。
通过以上步骤，我们可以系统地解决一元二次不等式的问题。这种方法不仅适用于理论学习，也能够帮助我们有效地解决实际应用中的相关问题。