求解函数的单调区间是微积分和数学分析中的一个重要内容，它有助于我们理解函数的增减性质，从而更好地描绘函数图像。单调区间指的是函数在其定义域内的一段区间内要么单调递增，要么单调递减。下面介绍一种常用的方法来求解函数的单调区间。
1. 计算导数
首先，我们需要计算给定函数\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)。这是因为函数在某一点的导数值可以告诉我们该点附近函数的增减情况：如果\(f'(x)>0\)，则函数在该点附近单调递增；如果\(f'(x)<0\)，则函数在该点附近单调递减。
2. 找到导数为零或不存在的点
接下来，找到导数\(f'(x)=0\)的所有点以及导数不存在的点。这些点将函数的定义域分割成若干个区间。这些点是可能的单调性改变点，因为函数的单调性在这类点附近可能会发生变化。
3. 测试每个区间的符号
对于每个由上述步骤得到的区间，选择一个测试点（通常选择区间的中点），计算该点处的导数值\(f'(x)\)。根据\(f'(x)\)的正负判断该区间内函数的单调性：
- 如果\(f'(x)>0\)，则函数在该区间内单调递增。
- 如果\(f'(x)<0\)，则函数在该区间内单调递减。
4. 确定单调区间
最后，根据上述测试结果确定各个单调区间，并用区间表示法写出最终答案。
示例
假设我们有一个函数\(f(x)=x^3-3x+2\)，我们想要找出它的单调区间。
1. 计算导数：\(f'(x)=3x^2-3\)
2. 找到导数为零的点：解方程\(3x^2-3=0\)得到\(x=\pm1\)。
3. 测试每个区间的符号：
- 在\(x<-1\)时，取\(x=-2\)，\(f'(-2)=9>0\)，所以函数在\((-∞,-1)\)上单调递增。
- 在\(-1 - 在\(x>1\)时，取\(x=2\)，\(f'(2)=9>0\)，所以函数在\((1,+∞)\)上单调递增。 综上所述，函数\(f(x)=x^3-3x+2\)的单调区间为：在\((-∞,-1)\)上单调递增，在\((-1,1)\)上单调递减，在\((1,+∞)\)上单调递增。 通过这种方法，我们可以系统地分析任何可导函数的单调性。